Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD平分△ABC的外角∠ABF交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）判斷DE和⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若∠A=30°，AB=4cm，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）DE與圓O相切，理由為：
證明：連接OD，
∵BD平分∠ABF，
∴∠OBD=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DBE=∠ODB，
∴OD∥CE，又CE⊥DE，
∴OD⊥DE，
則DE為圓O的切線；
（2）∵AB為圓O的直徑，
∴∠C=90°，
又∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OD∥CE，
∴∠BOD=∠ABC=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD為等邊三角形，即OB=OD=BD=2cm，
∴∠ODB=60°，∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD=2cm，∠BDE=30°，
則DE=BDcos30°=2×=．
分析：（1）DE與圓O相切，理由為：連接OD，由BD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OB=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與CE平行，而CE與DE垂直，可得出OD與DE垂直，即可確定出DE為圓O的切線；
（2）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠C為直角，再由∠A的度數(shù)，求出∠ABC的度數(shù)，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BOD為60°，確定出三角形OBD為等邊三角形，求出∠BDO為60°，得到∠BDE為30°，在直角三角形BDE中，由BD=2cm，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值即可求出DE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及銳角三角函數(shù)定義，其中切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證明垂直；無(wú)點(diǎn)連接證明垂線段等于圓的半徑．