Question

27、沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作．
（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請(qǐng)說明理由．
（2）若圓周上從小到大按順時(shí)針方向依次放著2003個(gè)正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）能．將1，2，3，4，5，6如圖放置，根據(jù)題意交換兩數(shù)的位置，經(jīng)過幾次變換，得出結(jié)論；
（2）能．設(shè)這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P，經(jīng)過k（k≥0）次操作后，這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P_k，根據(jù)題意，設(shè)圓周上依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，即ab+cd＞ac+bd，再根據(jù)交換b、c后的情況進(jìn)行分析，得出矛盾．

解答：解：（1）答：能．
具體操作如下：．
（2）答：能．
理由：設(shè)這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P．
開始時(shí)，P₀=1×2+2×3+3×4++2002×2003+2003×1，
經(jīng)過k（k≥0）次操作后，這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P_k，
此時(shí)若圓周上依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，即ab+cd＞ac+bd，交換b，c的位置后，
這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P_k+1，有P_k+1-P_k=（ac+cb+bd）-（ab+bc+cd）=ac+bd-ab-cd＜0．
所以P_k+1-P_k≤-1，即每一次操作，相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少1，
由于相鄰兩數(shù)乘積總大于0，
故經(jīng)過有限次操作后，對(duì)任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，一定有（a-d）（b-c）≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)問題的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意，尋找變換的一般規(guī)律．