Question

x，y為正整數(shù)，且兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和

x2-1

y+1

+

y2-1

x+1

也是整數(shù)，求證：這兩個(gè)分?jǐn)?shù)都是整數(shù)．

Answer 1

分析：對(duì)于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積，可寫成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，從而得出若兩個(gè)數(shù)相乘得到的結(jié)果是整數(shù)，那么它們中至少有一個(gè)是整數(shù)，再結(jié)合兩個(gè)數(shù)的和為自然數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)要么都是分?jǐn)?shù)，要么都是整數(shù)可證得結(jié)論．

解答：證明：兩個(gè)數(shù)的和為自然數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)要么都是分?jǐn)?shù)，要么都是整數(shù)（在此題中為自然數(shù)）；
對(duì)于

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

的積有：

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1），
由于x與y是自然數(shù)，那么 （x-1）×（y-1）也是自然數(shù)，
對(duì)于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積，可寫成：（a+

1

m

）×（b+

1

n

）=ab+

a

n

+

b

m

+

1

mn

，其中a、b、m、n均為整數(shù)，
由于

1

mn

的存在，所以若兩個(gè)數(shù)相乘得到的結(jié)果是整數(shù)，那么它們中至少有一個(gè)是整數(shù)，
對(duì)于本題而言，由于

x2-1

y+1

×

y2-1

x+1

=（x-1）×（y-1）為整數(shù)，
因此他們中至少有一個(gè)是整數(shù)，
又∵在（i）中知

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

要么同為整數(shù)，要么同為分?jǐn)?shù)，
因此可得出結(jié)論：

x2-1

y+1

與

y2-1

x+1

都是整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用，難度較大，對(duì)于本題的證明關(guān)鍵是要知道兩個(gè)數(shù)的和為自然數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)要么都是分?jǐn)?shù)，
要么都是整數(shù)．