Question

已知：二次函數(shù)y=的圖象與x軸從左到右的兩個交點依次為A、B，與y軸交點為C；
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求過B、C兩點的一次函數(shù)的解析式；
（3）如果P（x，y）是線段BC上的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（4）是否存在這樣的點P，使得PO=AO？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，在y=x²-中，令x=0及y=0
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；

（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b；
將B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：
，
解得；
∴y=-x+6；

（3）根據(jù)題意得S_△POA=×4×y，
∴y=-x+6；
∴S_△POA=-2x+12；
∴0≤x＜6；

（4）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
當OP⊥BC時，OP最短；
OP=BC==3=，
而OA=4，
∴＞4；
∴不存在這樣的點P，使得OP=AO．
分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0可求得C點坐標，令y=0可求得A、B的坐標；
（2）已知了B、C的坐標，用待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)直線BC的解析式可用x表示出P點的縱坐標，以O(shè)A為底，P點縱坐標的絕對值為高即可得到△OAP的面積，由此可求得S、x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）易知△OBC是等腰Rt△，且直角邊長為6，因此點O到BC的距離為3（即），顯然這個距離要大于4，因此P點的坐標無論去何值，都不存在OP=OA的情況．
點評：此題考查了二次函數(shù)與坐標軸交點坐標的求法、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的計算方法等重要知識點，綜合性較強，難度適中．