Question

如圖，直角梯形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，BC與x軸重合，點(diǎn)A在y軸上，且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=，梯形ABCD的面積為60．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交x軸于點(diǎn)E交y軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段EF長(zhǎng)為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接DE、DF，當(dāng)cos∠EDF=時(shí)，求t的值．

Answer 1

解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四邊形ADCO為正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=，
∴=，
∴=，
∴OA=OB，
∴S_梯形ABCD=（AD+OB+OC）•OA=×OB×OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），則
，
解得，
故直線AB的解析式為：y=x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB==10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF==，即=，
解得，AF=5t．
∴根據(jù)勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即=，
∴=，
∴y=-t+（0≤t＜）；

（3）∵=，
∴=，即OE=（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-（6-5t）=+t．
∵cos∠EDF=，cos∠EDF是銳角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)重合，即圖中的點(diǎn)G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t++t=-t+，
解得t=．
分析：（1）易證四邊形ADCO為正方形，然后由正弦三角函數(shù)的定義、勾股定理求得線段OB與OA的數(shù)量關(guān)系，最后由梯形的面積公式求得OA、OB的長(zhǎng)度．由待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）由（1）中OA、OB的長(zhǎng)度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函數(shù)的定義求得AF=5t、PF=4t；最后根據(jù)對(duì)頂角相等、余弦三角函數(shù)的定義求得y與t的函數(shù)關(guān)系式．定義域由y所表示的實(shí)際意義來(lái)確定；
（3）易證得∠EDF=45°．又因?yàn)椤螦DF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、解直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式等．