Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

  

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD=5時(shí)，求BF的長(zhǎng)和扇形DOE的面積；

（3）在（2）的條件下，如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為5，則r的取值范圍為           ．

 

Answer 1

【答案】

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據(jù)以C為圓心AC長(zhǎng)為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結(jié)論；（2），；（3）＜r＜

【解析】

試題分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，即可得到CB＝AC＝CF，再根據(jù)以C為圓心AC長(zhǎng)為半徑的⊙C過A、B、F可得∠ABF＝90°，從而可以證得結(jié)論；

（2）連接DO，EO，由點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)可得∠AOD＝60°，即可證得△AOD是等邊三角形  ，則∠OAD＝60°，AB=10，再根據(jù)正切函數(shù)的定義及三角形的面積公式求解即可；

（3）連接OC，由圓心距OC＝，圓O半徑r=5即可求得結(jié)果．

（1）∵∠CBF＝∠CFB

∴CB＝CF   

又∵AC＝CF 

∴CB＝AC＝CF

∴以C為圓心AC長(zhǎng)為半徑的⊙C過A、B、F  

∴∠ABF＝90°

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）連接DO，EO

∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn) 

∴∠AOD＝60°

又∵OA＝OD 

∴△AOD是等邊三角形  

∴∠OAD＝60°，AB=10

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，AB=10

∴BF＝

；

（3）連接OC

∵圓心距OC＝，圓O半徑r=5

∴＜r＜．

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.