Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線DE與⊙O相切；（2）4

【解析】

試題分析：1）直線DE與⊙O相切．  

理由如下：

連接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD．  

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

又∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．

（2）方法一：

如圖1，作DF⊥AB，垂足為F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．  

∴AF＝AE＝8，DF＝DE． 

∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．

在Rt△DOF中，DF＝＝4．

∴DE＝DF＝4． 

方法二：

如圖2，連接DB．

      

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°．

∴∠ADB＝∠AED．

∵∠EAD＝∠DAB，

∴△EAD∽△DAB．

∴．

即．解得．

在Rt△ADE中，＝4． 

方法三：

如圖3，作OF⊥AD，垂足為F．

∴AF＝AD，∠AFO＝∠AED．

∵∠EAD＝∠FAO，

∴△EAD∽△FAO．

∴

即．解得．

在Rt△ADE中，DE＝＝4

考點：圓

點評：本題考查圓與直線相切及三角形全等及相似的知識，會判斷圓與直線相切及三角形全等及相似的知識是解決本題的關(guān)鍵，屬中等難度的題