Question

（2001•東城區(qū)）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＞DC，若腰DC上有點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)（　　）

A．不存在

B．只有一個(gè)

C．只有兩個(gè)

D．有無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

分析：由題意可得使AP⊥BP的點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，根據(jù)圓與CD的位置關(guān)系即可得解．

解答：解：這樣的點(diǎn)有2個(gè)．
若∵AP⊥BP，
∴P在以AB為直徑的圓上，令圓心為O．
∵CD切⊙O于點(diǎn)P，
∴OP⊥CD，
∴P是CD上離點(diǎn)O最近的點(diǎn)．
∵AD∥BC、∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴AD切⊙O于點(diǎn)A、BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴由切線長(zhǎng)定理得：AD=DP、BC=CP，
∴AD+BC=DP+CP=DC．
∴當(dāng)AD+BC=DC時(shí)，⊙O與CD相切．
于是：當(dāng)AD+BC＞DC時(shí)，可理解為將DC由與⊙O相切時(shí)的位置向圓心方向平移，這樣，⊙O與DC就相交．
當(dāng)AD+BC＜DC時(shí)，可理解為將DC由與⊙O相切時(shí)的位置背圓心方向平移，這樣，⊙O與DC就相離．
∵AD+BC＞DC，
∴有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系，是一道考查學(xué)生綜合知識(shí)運(yùn)用能力的中檔題．