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如圖,已知AB是⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于點C,AC平分∠DAB.
(1)求證:AD⊥DC;
(2)若AD=2,AC=,求AB的長.

【答案】分析:(1)連接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分線的性質可以證明∠DAC=∠OCA,接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD,然后利用OC⊥CD,由此即可證明AD⊥CD;
(2)連接BC,根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°,又因為∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性質即可解決問題.
解答:(1)證明:連接OC
∵直線CD與⊙O相切于點C,
∴OC⊥CD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∴AD⊥CD,

(2)解:連接BC,則∠ACB=90°,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠DAC=∠OAC,
∴△ADC∽△ACB
=,
=,
解得:AB=2.5.
點評:此題主要考查了切線的性質與判定以及相似三角形的判定與性質等知識,利用已知條件證明△ADC∽△ACB即可解決問題.
練習冊系列答案
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3
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