Question

如圖，將△ABC的頂點A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點A（如圖1）的位置開始，將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°），旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直徑為8．

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；② 弧EF的長；③∠AFE的度數(shù)；④點O到EF的距離．其中不變的量是                （填序號）；

（2）當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積．

 

Answer 1

【答案】

(1) ①②④;(2) α=90°,S_△AEF=8．  

【解析】

試題分析：(1)在圓中,一條弧所對的弦,圓心角,圓周角,都有相應(yīng)的聯(lián)系,若其中的一個發(fā)生變化,另外的量也發(fā)生相應(yīng)的變化,由題,在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，所以其所對的弦、弧不變,即①②正確；根據(jù)勾股定理得：O到EF的距離是，因為OB不變，EF不變，所以O(shè)到EF的距離不變,所以④正確；而在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，所以③錯誤；故答案為：①②④;(2) α=90°,由題，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點C與點E重合，因此∠AFE=90°, AC=8，∠BAC=60°，∠ACF=30°,所以AF=AC=4，由勾股定理知EF=，所以S_△AEF=×4×=8． 

試題解析：（1）∵在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠A為弦切角或圓周角，且大小不變，

∴其所對的弦、弧不變,

∴①②正確；

∵根據(jù)勾股定理得：O到EF的距離是，

∵OB不變，EF不變，

∴④正確；

∵在整個旋轉(zhuǎn)過程中，∠AEF和∠AFE都在改變，大小不能確定，

∴③錯誤；

故答案為：①②④.

（2）

α=90°,

依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，

且點C與點E重合，

因此∠AFE=90°,

∵AC=8，∠BAC=60°，

∴∠ACF=30°,

∴AF=AC=4，EF=，

∴S_△AEF=×4×=8．   

考點：1.圓的垂徑定理.2.勾股定理.3.圓中弧所對的弦,圓心角,圓周角之間的聯(lián)系.