Question

應(yīng)當(dāng)在如下的？處填上哪個(gè)數(shù)碼使得這個(gè)整數(shù)可被7整除？（數(shù)碼5和6各重復(fù)了50次）66…66？555…55．

Answer 1

【答案】分析：由于111111（6個(gè)1）可被7整除，根據(jù)整除的性質(zhì)，得到66…66（48個(gè)6）能夠被7整除，55…55（48個(gè)5）能夠被7整除，則可以將數(shù)（數(shù)碼5和6各重復(fù)了50次）66…66？555…55的頭和尾各去掉48個(gè)數(shù)碼，于是問題轉(zhuǎn)化為66？55能被7整除，再將數(shù)66？55減去能夠被7整除的五位數(shù)63035，并且除以10，得到3？2，此時(shí)不難驗(yàn)證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392能被7整除．
解答：解：∵7|111111，
∴7|666666，
∴7|66…66（48個(gè)6），
同理可得7|55…55（48個(gè)5），
∴將數(shù)（數(shù)碼5和6各重復(fù)了50次）66…66？555…55的頭和尾各去掉48個(gè)數(shù)碼，得到66？55，此數(shù)能夠被7整除，
∵7|63035，
∴7|66？55-63035，即7|3？20，
∵3？20=3？2×10，10不能被7整除，
∴7|3？2，
將數(shù)字1～9分別代入，可知？處可以填上數(shù)碼2或9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了整除的性質(zhì)，能夠被7整除的數(shù)的特征，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度，根據(jù)整除的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為7|3？2，是解題的關(guān)鍵．