Question

（1）已知：有兩塊完全相同的含45°角的三角板，如圖1，將Rt△DEF的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊AB的中點處，這時兩塊三角板重疊部分△DBC的面積是△ABC的面積的

 

；
（2）如圖2，點D不動，將Rt△DEF繞著頂點D旋轉(zhuǎn)α（0°＜∠α＜90°），這時兩塊三角板重疊部分為任意四邊形DNCM，這時四邊形DNCM的面積是△ABC的面積的

 

；
（3）若Rt△DEF的頂點D在AB上移動（不與點A、B重合），且兩條直角邊與Rt△ABC的兩條直角邊相交，是否存在一點，使得兩塊三角板重疊部分的面積是Rt△ABC的面積的

4

9

？如果存在，請在圖3中畫出此時的圖形，并說明點D在AB上的位置；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）D為AB的中點，S_△ABC=

1

2

AB×CD，S_△DBC=

1

2

BD×CD，即可得出；
（2）連接CD，易證△CDM≌△ADN，四邊形DNCM的面積等于△ACD的面積，結(jié)合（1）即可得出；
（3）取DF⊥BC，DE⊥AC，則四邊形DNCM是矩形，設(shè)AB=a，BD=x，則DM=

2

2

x，DN=

2

2

（a-x），AC=BC=

2

2

a，分別表示出S_△ABC和S_矩形DNCM，利用其面積比，即可求出D的位置．

解答：解：（1）∵在直角△ABC中，D為斜邊AB的中點，
∴AD=BD=CD=

1

2

AB，CD⊥AB，
∵S_△ABC=

1

2

AB×CD，S_△DBC=

1

2

BD×CD，
∴S_△DBC=

1

2

S_△ABC
故答案為

1

2

．

（2）如圖，連接CD，
∵∠ADN+∠NDC=∠CDM+∠NDC，
∴∠ADN=∠CDM，
又∵∠A=∠DCB，AD=CD，
∴△ADN≌△CDM，
∴S_{四邊形DNCM}=S_△ADC，
∴S_{四邊形DNCM}=

1

2

S_△ABC；
故答案為

1

2

．

（3）如圖，DF⊥BC，DE⊥AC，則四邊形DNCM是矩形；
設(shè)AB=a，BD=x，
∴DM=

2

2

x，DN=

2

2

（a-x），AC=BC=

2

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

×

2

2

a×

2

2

a=

1

4

a²，
S_矩形DNCM=

2

2

x×

2

2

（a-x）=

1

2

（ax-x²），
∴

1 2 (ax-x2)

1 4 a2

=

4

9

，
整理得，(x-

a

2

)2=

a2

36

，
∴x₁=

2

3

a，x₂=

1

3

a，
∴點D在B點

1

3

或

2

3

處時，兩塊三角板重疊部分的面積是Rt△ABC的面積的

4

9

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，（3）中取四邊形是矩形，是解答的關(guān)鍵，思考問題的角度是從特殊到一般．