Question

圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)．

思考：如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP＝α．

當(dāng)α＝________度時，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為________．

探究一：在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝________度，此時點(diǎn)N到CD的距離是________．

探究二：將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖3，當(dāng)α＝60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；

(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．(參考數(shù)椐：sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝．)

Answer 1

答案：
解析：

分析：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質(zhì)定理，直接得出答案； 　　探究一：根據(jù)由MN＝8，MO＝4，OY＝4，得出UO＝2，即可得出得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30度，此時點(diǎn)N到CD的距離是2； 　　探究二：(1)由已知得出M與P的距離為4，PM⊥AB時，點(diǎn)MP到AB的最大距離是4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2，即可得出∠BMO的最大值； 　　(2)分別求出α最大值為∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范圍． 　　解答：解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝90度時，點(diǎn)P到CD的距離最小， 　　∵M(jìn)N＝8， 　　∴OP＝4， 　　∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為：6－4＝2． 　　故答案為：90，2； 　　探究一：∵以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2， 　　∵M(jìn)N＝8，MO＝4，OY＝4， 　　∴UO＝2， 　　∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30度，此時點(diǎn)N到CD的距離是2； 　　探究二 　　(1)由已知得出M與P的距離為4， 　　∴PM⊥AB時，點(diǎn)MP到AB的最大距離是4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2， 　　當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切， 　　此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°； 　　(2)如圖3，由探究一可知，點(diǎn)P是弧MP與CD的切線時，α大到最大，即OP⊥CD，此時延長PO交AB于點(diǎn)H，α最大值為∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°＝120°， 　　如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達(dá)到最小， 　　連接MP，作HO⊥MP于點(diǎn)H，由垂徑定理，得出MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4， 　　∴sin∠MOH＝＝， 　　∴∠MOH＝49°， 　　∵α＝2∠MOH， 　　∴α最小為98°， 　　∴α的取值范圍為：98°≤α≤120°． 　　點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及平行線之間的關(guān)系和解直角三角形等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)求解是初中階段的重點(diǎn)題型，此題考查知識較多綜合性較強(qiáng)，注意認(rèn)真分析．

提示：

直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離；平行線之間的距離；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形．