已知拋物線的頂點坐標為數(shù)學公式,且經過點C(1,0),若此拋物線與x軸的另一交點為點B,與y軸的交點為點A,設P、Q分別為AB、OB邊上的動點,它們同時分別從點A、O向B點勻速運動,速度均為每秒1個單位,設P、Q移動時間為t(0≤t≤4)
(1)求此拋物線的解析式并求出P點的坐標(用t表示);
(2)當△OPQ面積最大時求△OBP的面積;
(3)當t為何值時,△OPQ為直角三角形?
(4)△OPQ是否可能為等邊三角形?若可能請求出t的值;若不可能請說明理由,并改變點Q的運動速度,使△OPQ為等邊三角形,求出此時Q點運動的速度和此時t的值.

解:(1)設拋物線的解析式為:y=a(x-2-,代入點(1,0),得:a=;
∴y=(x-2-
令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0).
令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5.
如右圖,過點P作PM⊥y軸,垂足為點M,則:
==,得:==
∴AM=t,PM=t
∴P(t,3-t).

(2)如圖,過點P作PN⊥x軸,垂足為點N,
S△OPQ=OQ•PN=t•(3-t)=t-t2=-(t-2+
∴當t=時,S△OPQ最大=
此時OP為AB邊上的中線
∴S△OBP=S△AOB=××3×4=3.

(3)若∠OQP=90°,則 =
=,得t=0(舍去).
若∠OPQ=90°,則OP2+PQ2=OQ2,
∴(3-t)2+(t)2+(3-t)2+(t)2=t2
解得:t1=3,t2=15(舍去).
當t=3時,△OPQ為直角三角形.

(4)∵OP2=(3-t)2+(t)2,PQ2=(3-t)2+(t)2;
∴OP≠PQ,
∴△OPQ不可能是等邊三角形.
設Q點的速度為每秒k個單位時,△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•t,得 k=
∵PN=OP=t=t
∴3-t=t,得t=
分析:(1)將拋物線的解析式設為頂點式,再將C點坐標代入該解析式中,即可求得待定系數(shù)的值.求解P點坐標時,可過P作y軸的垂線,通過構建的相似三角形求出P點的橫、縱坐標.
(2)在(1)中求得P點坐標,以OQ為底、P點縱坐標為高求出關于△OPQ的面積和t的函數(shù)關系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質求出△OPQ的面積最大值時,對應的t值;由此能得到AP的長,△OPB和△AOB中,若以BP、AB為底,那么它們的高相同,底的比就是面積的比,由此得解.
(3)此題分兩種情況:∠OQP=90°或∠OPQ=90°;第一種情況,PQ∥y軸,利用相應的比例線段即可求出t的值;后一種情況可利用勾股定理來進行求解.
(4)若△OPQ為等邊三角形,Q點運動速度必須滿足OQ等于P點橫坐標的2倍(P點在線段OQ的中垂線上),然后根據(jù)等邊三角形的性質求出對應的t值.
點評:該題的難度較大,綜合了二次函數(shù)、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識.在解答(3)題時,要注意直角三角形的直角并沒有確定,要分類進行討論.
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(2012•北塘區(qū)一模)已知拋物線的頂點坐標為(
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,且經過點C(1,0),若此拋物線與x軸的另一交點為點B,與y軸的交點為點A,設P、Q分別為AB、OB邊上的動點,它們同時分別從點A、O向B點勻速運動,速度均為每秒1個單位,設P、Q移動時間為t(0≤t≤4)
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