Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，兩動點P、Q分別同時從D、A出發(fā)，以1cm/秒的速度各自沿著DA、AB邊向A、B運動，試解答下列各題：
（1）當P、Q出發(fā)后多少秒時，四邊形APOQ為正方形？
（2）當P、Q出發(fā)后多少秒時，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}？

Answer 1

分析：（1）首先根據題意畫出圖形，再設當P、Q出發(fā)后x秒時，四邊形APOQ為正方形，則DP=AQ=x；AP=4-x，再根據條件“四邊形APOQ為正方形”可得AP=PO=AQ，故4-x=x，解可得答案；
（2）首先利用正方形的性質找出證明△AQO≌△DPO的條件，進而得到△AQO和△PDO的面積相等，由此推出△ADO的面積與四邊形APOQ的面積相等，再根據S_△POQ=S_{四邊形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ代入相關數據，解方程可得答案．

解答：解：（1）設當P、Q出發(fā)后x秒時，四邊形APOQ為正方形，
則DP=AQ=x；AP=4-x，
∵正方形APOQ，
∴AP=PO=AQ，
∴4-x=x，
解得：x=2．
故當P、Q出發(fā)后2秒時，四邊形APOQ為正方形；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DO=OA，∠PDO=∠OAB=45°，
又∵PD=AQ，
∴△AQO≌△DPO（SAS），
∴S_△AQO=S_△DPO，
設P、Q出發(fā)后a秒時，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}，
∴AP=4-a，AQ=PD=a，
S_△POQ=S_{四邊形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ=

1

2

AO•DO-

1

2

a（4-a），
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴AO=DO，
∵AD=4，
∴AO=DO=4×sin45°=4×

2

2

=2

2

，
∴

1

2

AO•DO=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
∴4-

1

2

a（4-a）=

5

32

×4×4，
解得：a=1或3，
故當P、Q出發(fā)后1或3秒時，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}．

點評：此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定，以及一元二次方程的應用，解決此題的關鍵是推出△ADO的面積與四邊形APOQ的面積相等，從而得到△POQ的面積等于△ADO的面積與△APQ的面積差．