Question

（2012•虹口區(qū)二模）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點O為AB邊的中點，點M是BC邊上一動點（不與點B、C重合），AD⊥AB，垂足為點A．連接MO，將△BOM沿直線MO翻折，點B落在點B₁處，直線M B₁與AC、AD分別交于點F、N．
（1）當(dāng)∠CMF=120°時，求BM的長；
（2）設(shè)BM=x，y=

△CMF的周長

△ANF的周長

，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連接NO，與AC邊交于點E，當(dāng)△FMC和△AEO相似時，求BM的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出，當(dāng)∠CMF=120°時，∠BMO=30°，再利用MB=

BO

tan30°

求出即可；
（2）首先得出△ANO≌△B₁NO，進而得出△MB₁O∽△OB₁N，△CMF∽△ANF，利用相似三角形的性質(zhì)得出

C△CMF

C△ANF

=

CM

AN

=

4-x

4 x

=

4x-x2

4

，即可得出答案；
（3）根據(jù)△FMC和△AEO相似得出有兩種情況即：當(dāng)△FMC∽△AEO時或當(dāng)△FMC∽△AOE時，分別利用相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)∠CMF=120°時，
∵將△BOM沿直線MO翻折，點B落在點B₁處，
∴∠BMO=∠OMB₁，
∵∠CMF=120°，
∴∠BMO=30°，
∵AB=BC=4，點O為AB邊的中點，
∴BO=2，
∴Rt△MOB中，MB=

BO

tan30°

=

2

3 3

=2

3

，；

（2）連接ON，
由（1）可得：
在Rt△ANO和Rt△B₁NO中，
∵

AO=B1O NO=NO

∴△ANO≌△B₁NO（HL），
∴∠AON=∠B₁ON，AN=NB₁，
又∵∠MOB₁=∠MOB，
∴∠NOM=90°，
∴∠OMN=∠NOB₁，
又∵∠OB₁M=∠OB₁N=∠B=90°，
∴△MB₁O∽△OB₁N，
∴

B1O

B1M

=

NB1

B1O

∴OB12=MB1•NB1，
又∵MB₁=MB=x，OB₁=OB=2，
∴2²=x•NB₁，
∴NB1=

4

x

，
∴AN=

4

x

，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
又∵∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△CMF∽△ANF，
∴

C△CMF

C△ANF

=

CM

AN

=

4-x

4 x

=

4x-x2

4

=-

1

4

x²+x，
∴y=-

1

4

x²+x（0＜x＜4）；

（3）由題意知：∠EAO=∠C=45°
∵△FMC和△AEO相似，
∴只有兩種情況：當(dāng)△FMC∽△AEO時或當(dāng)△FMC∽△AOE時，
①如圖2，當(dāng)△FMC∽△AEO時，有∠FMC=∠AEO，∠CFM=∠AOE，
可證：∠AOE=∠OMB=∠FMO，
則∠CFM=∠FMO，
∴OM∥AC，
∴∠OMB=∠C=45°，
∴Rt△MOB中，MB=OB•tan45°=2，
②如圖3，當(dāng)△FMC∽△AOE時，
則∠FMC=∠AOE，
∵∠AOE=∠OMB=∠OMF，
∴∠CMF=∠OMF=∠OMB=60°，
∴Rt△MOB中，MB=

OB

tan60°

=

2 3

3

，
所以，綜上述，知BM=2或BM=

2

3

3

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)已知△FMC和△AEO相似進行分類討論得出是解題關(guān)鍵．