Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，E是內(nèi)心，AE延長線交△ABC外接圓于D，以下四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)E是內(nèi)心，可得出∠CAD=∠BAD，則點D為弧BC的中點，又由AC=BC，得CE⊥AB；則延長BE交圓于一點也一定是弧AC的中點，則BE=AE；根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出三角形DEB與ABC三個角分別對應(yīng)相等．則三角形DEB與ABC相似，從而得出第4個結(jié)論正確．
解答：解：∵E是內(nèi)心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
點D為弧BC的中點，
∵AC=BC，且CE為∠ACB的平分線，
∴CE⊥AB（三線合一），選項②正確；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，選項①正確；
∵∠CAD=∠BAD，
∴=，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，選項③正確；
∵△ABC和△BED都為等腰三角形，且兩頂角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴=，
∴=，
∵DE=DB，BE=AE，
∴，選項④正確，
∴正確結(jié)論有4個．
故選D．
點評：本題考查了三角形的內(nèi)心，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．