Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC邊于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理可求出OD∥AC，根據(jù)切線的性質(zhì)可證明DE⊥OD，進(jìn)而得證．
（2）過(guò)O作OF⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵O為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，
∴OD∥AC．
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥OD．
∴DE⊥AC．

（2）解：過(guò)O作OF⊥BD，則BF=FD．
在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB．
∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=

3 3

2

OB．
在Rt△OFC中，
tan∠BCO=

FO

FC

=

1 2 OB

3 3 2 BO

=

1

3 3

=

3

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線定理及切線的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性，根據(jù)已知得出OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB，F(xiàn)C=3BF=

3 3

2

OB是解題關(guān)鍵．