Question

【題目】已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，我們稱以A為頂點(diǎn)且過點(diǎn)C′，對(duì)稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢(mèng)之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢(mèng)之星”直線．若一條拋物線的“夢(mèng)之星”拋物線和“夢(mèng)之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為____．

Answer 1

【答案】：y= x2-2x-3．

【解析】先求出y=x2-2x+1和y=2x-2的交點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，4），再求出“夢(mèng)之星”拋物線y=x2+2x+1的頂點(diǎn)A坐標(biāo)（-1，0），接著利用點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱得到C（1，-4），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）2-4然后把A點(diǎn)代入求出a的值即可得到原拋物線解析式.

解：∵y=x2-2x+1=（x+1）2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），

解方程組得或，

∴C′的坐標(biāo)為（1，4），

∵點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱，

C（1，-4），

設(shè)原拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，

把A（-1，0）代入求得4a-4=0，解得a=1，

∴原拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4=x2-2x-3．

故答案為：y= x2-2x-3．