Question

求證：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．

Answer 1

已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求證：BC=AB．
證明：
證法一：如答圖所示，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=AB，即BC=AB．

證法二：如答圖所示，取AB的中點(diǎn)D，
連接DC，有CD=AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=AB，即BC=AB．

證法三：如答圖所示，在AB上取一點(diǎn)D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=AB，
∴BC=AB．

證法四：如圖所示，作△ABC的外接圓⊙D，∠C=90°，AB為⊙O的直徑，
連DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC為等邊三角形，
∴BC=DB=DA=AB，即BC=AB．
分析：首先寫(xiě)出已知、求證，畫(huà)出圖形，借助等邊三角形的判定和性質(zhì)證明或借助三角形的外接圓證明．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形性質(zhì)的證明過(guò)程，能夠熟練運(yùn)用等邊三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明．