Question

如圖1是一個(gè)三棱柱包裝盒，它的底面是邊長(zhǎng)為10cm的正三角形，三個(gè)側(cè)面都是矩形．現(xiàn)將寬為15cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個(gè)平行四邊形ABCD（如圖2），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方式把這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時(shí)沒(méi)有重疊部分），紙帶在側(cè)面纏繞三圈，正好將這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中，計(jì)算裁剪的角度∠BAD；
（2）計(jì)算按圖3方式包貼這個(gè)三棱柱包裝盒所需的矩形紙帶的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求得AB=30cm，由紙帶的寬為15cm，根據(jù)三角函數(shù)求得∠BAD=30°；
（2）由三棱柱的側(cè)面展開圖求出BC和MB的長(zhǎng)，即是所需的矩形紙帶的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由圖2的包貼方法知：
∵AB的長(zhǎng)等于三棱柱的底邊周長(zhǎng)，
∴AB=30cm，
∵紙帶的寬為15cm，
∴sin∠BAD=sin∠ABM=

AM

AB

=

15

30

=

1

2

，
∴∠BAD=30°；

（2）在圖3中將三棱柱沿過(guò)點(diǎn)A的側(cè)棱剪開，得知如圖甲的側(cè)面展開圖．

將圖甲的△ABF向左平移30cm，△CDE向右平移30cm，拼成如圖乙中的平行四邊形AMCN，此平行四邊形即為圖2中的平行四邊形ABCD．
由題意得：圖2中的BC=圖乙中的AM=2AE=2AB÷cos∠EAB=60÷cos30°=40

3

（cm），
故所需的矩形紙帶的長(zhǎng)度為MB+BC=30×cos30°+40

3

=55

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道立體圖形的側(cè)面展開，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算是一道綜合題，難度較大．