Question

如圖，已知AB⊥MN，垂足為點(diǎn)B，P是射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，點(diǎn)C到MN的距離為線段CD的長(zhǎng)．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到MN的距離是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示這段距離；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出這段距離；
（3）如果圓C與直線MN相切，且與以BP為半徑的圓P也相切，求BP：PD的值．

Answer 1

分析：（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，可以證明△ABP∽△CAP，根據(jù)相似比得出；
（2）C到MN的距離，即CD的長(zhǎng)，可以延長(zhǎng)CA交直線MN于點(diǎn)E，證明AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出；
（3）圓C與直線MN相切，且與以BP為半徑的圓P也相切，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系有（i）當(dāng)圓C與圓P外切時(shí)，CP=PB+CD，即y=x+8，（ii）當(dāng)圓C與圓P內(nèi)切時(shí)，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，結(jié)合（1），（2）求出BP：PD的值．

解答：解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．（1分）
∴

BP

AP

=

AP

PC

．
即

x

x2+16

=

x2+16

y

．（1分）
∴所求的函數(shù)解析式為y=

x2+16

x

（x＞0）．（1分）

（2）CD的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化．（1分）
延長(zhǎng)CA交直線MN于點(diǎn)E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴

AB

CD

=

AE

CE

=

1

2

．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）

（3）∵圓C與直線MN相切，
∴圓C的半徑為8．（1分）
（i）當(dāng)圓C與圓P外切時(shí)，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴

x2+16

x

=x+8，
∴x=2，（1分）
∴BP=2，
∴CP=y=2+8=10，
根據(jù)勾股定理得PD=6
∴BP：PD=

1

3

．（1分）
（ii）當(dāng)圓C與圓P內(nèi)切時(shí)，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴

x2+16

x

=|x-8|．
∴

x2+16

x

=x-8或

x2+16

x

=8-x．
∴x=-2（不合題意，舍去）或無實(shí)數(shù)解．（1分）
∴綜上所述BP：PD=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，考查相似三角形的判定和性質(zhì)．切線的性質(zhì)及圓與圓的位置關(guān)系．