Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)圖形W上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)P為圖形W的“夢(mèng)之點(diǎn)”.

（1）已知⊙O的半徑為1.

①在點(diǎn)E（1,1），F（,－）,M(－2，－2)中，⊙O的“夢(mèng)之點(diǎn)”為 ；

②若點(diǎn)P位于⊙O內(nèi)部，且為雙曲線（k≠0）的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求k的取值范圍.

（2）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，t），⊙C的半徑為，若在⊙C上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”P，直接寫出t的取值范圍.

（3）若二次函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，,且，求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）①F; ②（2）－1≤t≤3 ；（3）坐標(biāo)為（），（）

【解析】試題分析：①根據(jù) “夢(mèng)之點(diǎn)”的概念直接判斷即可.

②先求出⊙O的“夢(mèng)之點(diǎn)”坐標(biāo)為 和.將代入雙曲線表達(dá)式中，得，即可求出k的取值范圍.

⊙C 要和直線y=x的交點(diǎn)均為雙曲線的“夢(mèng)之點(diǎn)”， 在⊙C上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”P，即它們的必須有交點(diǎn).

由“夢(mèng)之點(diǎn)”定義可得: ，.則.

整理得，，解得，， . 把兩個(gè)根代入中，求出的值，分別計(jì)算即可.

試題解析：（1）①F;

②∵⊙O的半徑為1.

∴⊙O的“夢(mèng)之點(diǎn)”坐標(biāo)為 和.

又∵雙曲線（k≠0）與直線y=x的交點(diǎn)均為圓的“夢(mèng)之點(diǎn)”，

∴將代入雙曲線表達(dá)式中，得，

∵點(diǎn)P位于⊙O內(nèi)部.

∴,

（2）－1≤t≤3，

（3）由“夢(mèng)之點(diǎn)”定義可得: ，.

則.

整理得，,

解得，， .

把兩個(gè)根代入中，即,

解得，，.

當(dāng)時(shí)，，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為