Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點M在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點A（-1，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的圓O′的直徑長；
（3）設(shè)圓O′與y軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l，則圓心O′是否在直線上，請說明理由．

Answer 1

解（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點M的坐標(biāo)為（-，）在直線y=-4x上，
∴=-①，
∵圖象經(jīng)過點A（-1，0）．
∴0=1-b+c②，
聯(lián)立①②得
，
解得：，
故y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴與y軸的交點C的坐標(biāo)是（0，-3），頂點M的坐標(biāo)是（1，-4）
設(shè)y=0，則x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)是（3，0），
過M作ME⊥OE，過B作BF⊥EM交EM于F，
∴OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1
在Rt△BOC，Rt△CEM，Rt△BFM中，利用勾股定理得：BC=3，MC=，BM=2，
∵BC²+MC²=20，BM²=2，
∴BC²+MC²=BM²，
∴△MBC為直角三角形，且∠BCM=90°，
∴⊙O′的直徑長為BM=2；

（3）圓心O′是在直線上，理由如下：
過O′作x軸的垂線，交x軸于R，過O′作y軸的垂線，交y軸于T，交MQ于S，
設(shè)⊙O′與x軸的另一個交點為Q，連接MQ，由BM是⊙O′的直徑，知∠BQM=90°．
∴Q（1，0），
∵BQ=2，O′R⊥OB，
∴QR=1，
∴OR=2，
在Rt△O′RB中，O′R==2，
∴O′的坐標(biāo)為（2，-2），
∴OT=2，
∵OC=3，
∴TC=1，
∴NC=1，
∴ON=1，
∴N的坐標(biāo)為（0，-1）
設(shè)過PN的直線解析式為y=kx+b，把N的坐標(biāo)為（0，-1）和P（-2，0）分別代入求得k=-，b=-1，
∴過PN的直線解析式為y=-x-1，
∵O′的坐標(biāo)為（2，-2），
∴-2=-×2-1=-2，
∴圓心O′是在直線上．
分析：（1）由公式法可表示出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)代入y=-4x，得到關(guān)于b，c的關(guān)系式，再把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式又可得到b，c的關(guān)系式，聯(lián)立以上兩個關(guān)系式解方程組求出b和c的值即可求出這個二次函數(shù)的解析式；
（2）分別求出B，C，和M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出BC，MC，BM的長，利用勾股定理的逆定理即可證明三角形為直角三角形，并且BM為圓的直徑問題得解；
（3）圓心O′在直線上，過O′作x軸的垂線，交x軸于R，過O′作y軸的垂線，交y軸于T，交MQ于S，利用圓周角定理和勾股定理求出O′，N的坐標(biāo)，再設(shè)經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l的解析式為y=kx+b，把O的坐標(biāo)代入已求出的一次函數(shù)的解析式檢驗即可．
點評：本題考查了求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、勾股定理的運用、勾股定理的逆定理的運用以及圓周角定理和矩形的性質(zhì)運用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大．