Question

（1）如圖1，△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，求證：AF垂直平分DE．
（2）如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點O，判斷∠AOD與∠AOE的數(shù)量關系，并證明；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等求出FD=FE，然后利用HL定理證明△ADF和△AEF全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到AD=AE，最后利用等腰三角形“三線合一”的性質可得AF垂直平分DE；
（2）過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它們的面積相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE．

解答：證明：（1）∵AF平分∠BAC交BC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，
∴FD=FE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），
在Rt△ADF和Rt△AEF中，

AF=AF DF=EF

，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴AD=AE（全等三角形對應邊相等），
又∵AF平分∠BAC交BC于F，
∴AF垂直平分DE（等腰三角形三線合一）．

（2）∠AOD與∠AOE的數(shù)量關系為相等．
如圖，過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．
∵S_△DAC=

1

2

DC•AM=S_△BAE=

1

2

BE•AN，
∴AM=AN．
∴點A在∠DOE的角平分線上．
∴∠AOD=∠AOE．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、等邊三角形的性質，正確的作出輔助線是解決此題的關鍵．