Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng) 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，矩形對(duì)角線(xiàn)AC，BO交于M，取OM中點(diǎn)G，BM中點(diǎn)H，求證：當(dāng)t=1時(shí)四邊形DGPH是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），

∴OA=6，OC=3，

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC=3，BC=OA=6，

∴B（6，3），

∵動(dòng)點(diǎn)Q從O點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng) 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．

∴當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）時(shí)，

AP=t，OQ= +t，

則OP=OA﹣AP=6﹣t；

（2）

解：當(dāng)t=1時(shí)，OQ= ，則CQ=CQ=OC﹣OQ= ，

由折疊可知：△OPQ≌△DPQ，

∴OQ=DQ= ，

由勾股定理，得：CD=1，

∴D（1，3）；

（3）

證明：如圖所示，

由（1），（2）知：當(dāng)t=1時(shí)，

CD=AP=1，OA=BC=6

∴BC﹣CD=OA﹣AP，即BD=OP=5，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OM=MB，OA∥BC，

∵G為OM中點(diǎn)，H為BM中點(diǎn)，

∴OG=BH，

∵OA∥BC，

∴∠CBO=∠AOB，

在△POG和△DBH中，

∵ ，

∴△POG≌△DBH（SAS），

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH，

∴∠MGP=∠DHM，

∴PG∥DH，

∵PG=DH，

∴四邊形DGPH是平行四邊形．

故當(dāng)t=1時(shí)四邊形DGPH是平行四邊形．

【解析】（1）由O（0，0），A（6，0），C（0，3），可得：OA=6，OC=3，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，進(jìn)而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，3），然后根據(jù)P點(diǎn)與Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；（2）由翻折的性質(zhì)可知：△OPQ≌△DPQ，進(jìn)而可得：DQ=OQ，然后由t=1時(shí)，DQ=OQ= ，CQ=OC﹣OQ= ，然后利用勾股定理可求CD的值，進(jìn)而可求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）由（1），（2）知：當(dāng)t=1時(shí)，CD=AP=1，OA=BC=6，進(jìn)而可得：BD=OP=5，然后由矩形的性質(zhì)可得：OG=BH，∠CBO=∠AOB，然后根據(jù)SAS證明△POG≌△DBH，進(jìn)而可得PG∥DH，PG=DH，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證：當(dāng)t=1時(shí)四邊形DGPH是平行四邊形．