Question

如圖，正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，且BE=BC，連接CE，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF．連接EF，交BC于點G，H為EF的中點，連接CH，則下列說法：①△CDE≌△EBG；②BC平分∠HCF；③S_△BGF=S_△CGF；④FG=GH；⑤在不添加其他線段的條件下，圖中有8個等腰三角形，其中正確的說法是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①④⑤
3. C.
   ①②⑤
4. D.
   ①②③⑤

Answer 1

C
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，然后求出∠EBG=∠CDE=45°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCE=∠BEC=67.5°，然后求出∠BEG=∠DCE=22.5°，利用“角邊角”證明△CDE和△EBG全等，判定①正確；再求出∠GCH=22.5°，從而得到∠GCH=∠BCF，判定②正確；連接BH，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=EF，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，CH=EF，CH是△CGF的邊GF的高，BH不是△BGF的邊GF的高，所以，兩個三角形的面積不相等，判定③錯誤；△CFH中CH≠CF，所以角平分線CG不平分FH，判定④錯誤；根據(jù)正方形的性質(zhì)找出等腰直角三角形，根據(jù)角度找出等腰三角形，判定⑤正確．
解答：∵△CBF是△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠EBG=∠CDE=45°，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=（180°-45°）=67.5°，
BE=CD，
∵H為EF的中點，
∴CH=EF，∠CEF=∠ECH=45°，
∴∠BEG=∠BEC-∠CEF=67.5°-45°=22.5°，
∠DCE=∠BCE-∠ECH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BEG=∠DCE=22.5°，
在△CDE和△EBG中，
∵，
∴△CDE≌△EBG（ASA），故①正確；
∵∠GCH=∠BCE-∠ECH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠GCH=∠BCF，
即BC平分∠HCF，故②正確；
連接BH，
∵∠EBF=∠EBG+∠CBF=45°+45°=90°，點H是EF的中點，
∴BH=EF，
∴BH=CH，
∵CH是△CGF的邊GF的高，BH不是△BGF的邊GF的高，
∴S_△BGF≠S_△CGF，故③錯誤；
∵△CFH是等腰直角三角形，
∴CH≠CF，
∴∠HCF的角平分線CG不平分FH，
∴FG≠GH，故④錯誤；
等腰直角三角形有：△ABD，△BCD，△CEF，△CEH，△CFH，
∠BCE=∠BEC=67.5°，△BCE是等腰三角形，
∠CGE=180°-∠ECG-∠CEG=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴△CEG是等腰三角形，
∠BFG=90°-∠BEG=90°-22.5°=67.5°，
∠BGF=∠EBG+∠BEG=45°+22.5°=67.5°，
所以，∠BFG=∠BGF，
所以，△BFG是等腰三角形，
所以，共有8個等腰三角形，故⑤正確，
綜上所述，說法正確的有①②⑤．
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，是綜合題，但難度不大，仔細分析便不難求解．