Question

21、已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A．
（Ⅰ）求證：BD與⊙O相切；
（Ⅱ）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證明OD⊥BD．轉(zhuǎn)證∠ADO+∠CDB=90°．因為∠ADO=∠A=∠CBD，∠CBD+∠CDB=90°，所以得證；
（2）AD：AO=8：5，則AD：AE=8：：10．證明△BCD∽△ADE，得對應(yīng)邊成比例求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠CBD=∠A，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：連接DE，則∠ADE=90°．
∵∠CBD=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE=BC：BD．
∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10．
∴8：10=2：BD，
∴BD=2.5．

點評：此題考查切線的判定和相似三角形的判定及性質(zhì)，屬常規(guī)題，難度不大．