Question

已知拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為（-1，4），求△ABC的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-h）²+k，再將頂點(diǎn)（-1，4）代入，由拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，再設(shè)拋物線(xiàn)和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂（x₁＞x₂）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁-x₂．

解答：解：設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵頂點(diǎn)為（-1，4），
∴y=a（x+1）²+4，
即y=ax²+2ax+a+4，
∵拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，
∴設(shè)拋物線(xiàn)和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂（x₁＞x₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

a+4

a

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-4×

a+4

a

，
∵x₁-x₂=4，
∴4-4×

a+4

a

=16，
解得a=-1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x+1）²+4，
令x=0，得y=-（0+1）²+4=-1+4=3，
∴C（0，3），
∴S_△ABC=

1

2

×4×3=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；當(dāng)x=0時(shí)，求得二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)；x軸上兩點(diǎn)間的距離等于較大的點(diǎn)的坐標(biāo)減去較小的點(diǎn)的坐標(biāo)．