Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為。點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作軸于點E，交CD于點F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。

（3）若存在點P，使，請直接寫出相應的點P的坐標

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當m=1或2或時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，理由見解析；（3）P（）或（）.

【解析】

試題分析：（1）由直線經(jīng)過點C，求出點C的坐標；由拋物線經(jīng)過點C，D兩點，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）因為PF∥CO，所以當PF=CO時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可；（3）如圖，當點P在CD上方且∠PCF=45⁰時，作PM⊥CD于點M，CN⊥PF于點N，則△PMF∽△CNF，∴，∴PM=CM=2CF，∴，又∵，∴，解得：，（舍去），∴P（），當點P在CD下方且∠PCF=45⁰時，同理可以求得：另外一點為P（）.

試題解析：（1）∵直線經(jīng)過點C，∴C（0，2）.

∵拋物線經(jīng)過點C（0，2），D ，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

（2）∵點P的橫坐標為m且在拋物線上， ∴.

∵PF∥CO，∴當PF=CO時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形.

當時，，

∴，解得：.

即當m=1或2時，四邊形OCPF是平行四邊形.

當時，，

∴，解得：（∵點P在y軸右側(cè)的拋物線上，∴舍去）.

即當時，四邊形OCFP是平行四邊形.

綜上所述，當m=1或2或時，以O，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形.

（3）P（）或（）.

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；4.平行四邊形的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.分類思想的應用.