Question

如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AP=CQ，PQ交AC于D，
（1）求證：DP=DQ；
（2）過(guò)P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DPM=∠Q，判斷出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AP=PM，然后求出PM=CQ，再利用“角角邊”證明△DPM和△DQC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=DC，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得AE=EM，然后求出DE=

1

2

AC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BC，則∠DPM=∠Q，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△APM是等邊三角形，
∴AP=PM，
又∵AP=CQ，
∴PM=CQ，
在△DPM和△DQC中，

∠DPM=∠Q ∠PDM=∠QDC PM=CQ

，
∴△DPM≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；

（2）∵△DPM≌△DQC，
∴DM=DC，
∵PE⊥AC，△APM是等邊三角形，
∴AE=EM，
∴DE=DM+EM=

1

2

AC，
∵等邊三角形ABC的邊BC=4，
∴AC=4，
∴DE=

1

2

×4=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出等邊三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．