(2003•荊門)已知:如圖1,點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN都是等邊三角形,AN交MC于點E,BM交CN于點F.
(1)求證:AN=BM;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,在圖2中補出符合要求的圖形,并判斷第(1)、(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立(不要求證明).

【答案】分析:(1)可通過全等三角形來得出簡單的線段相等,證明AN=BM,只要求出三角形ACN和MCB全等即可,這兩個三角形中,已知的條件有AC=MC,NC=CB,只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角,因此它們都是120°,這樣就能得出兩三角形全等了.也就證出了AN=BM.
(2)我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180-60-60=60°,因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形,可從EC,CF入手,由(1)的全等三角形我們知道,∠MAC=∠BMC,
又知道了AC=MC,∠MCF=∠ACE=60°,那么此時三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我們再根據(jù)∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論.
(3)判定結(jié)論1是否正確,也是通過證明三角形ACN和BCM來求得.這兩個三角形中MC=AC,NC=BC,∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等,AN=BM,結(jié)論1正確.
根據(jù)圖1,當(dāng)把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE>90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形.
解答:(1)證明:∵△ACM,△CBN是等邊三角形,
∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN,
即:∠ACN=∠MCB,
在△ACN和△MCB中,
AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC,
∴△ACN≌△MCB(SAS).
∴AN=BM.

(2)證明:∵△ACN≌△MCB,
∴∠CAN=∠CMB.
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°,
∴∠MCF=∠ACE.
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF,
∴△CAE≌△CMF(ASA).
∴CE=CF.
∴△CEF為等腰三角形.
又∵∠ECF=60°,
∴△CEF為等邊三角形.

(3)解:如右圖,
∵△CMA和△NCB都為等邊三角形,
∴MC=CA,CN=CB,∠MCA=∠BCN=60°,
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB,即∠MCB=∠ACN,
∴△CMB≌△CAN,
∴AN=MB,
結(jié)論1成立,結(jié)論2不成立.
點評:本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點,利用全等三角形來得出角和邊相等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《分式方程》(01)(解析版) 題型:選擇題

(2003•荊門)已知水的密度為1,冰的密度為0.9.現(xiàn)將1個單位體積的水結(jié)成冰后的體積增長率為p,1個單位體積的冰溶成水后的體積的下降率為q,則p、q的大小關(guān)系為( )
A.p>q
B.p=q
C.p<q
D.不能確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•荊門)已知:如圖1,點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN都是等邊三角形,AN交MC于點E,BM交CN于點F.
(1)求證:AN=BM;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,在圖2中補出符合要求的圖形,并判斷第(1)、(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立(不要求證明).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•荊門)如圖,已知一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)有兩個不同的公共點A、B.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若△AOB的面積S=24,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2003•荊門)已知水的密度為1,冰的密度為0.9.現(xiàn)將1個單位體積的水結(jié)成冰后的體積增長率為p,1個單位體積的冰溶成水后的體積的下降率為q,則p、q的大小關(guān)系為( )
A.p>q
B.p=q
C.p<q
D.不能確定

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案