Question

【題目】如圖，⊙O是△的外接圓，FH是⊙O的切線，切點(diǎn)為，平分∠．連接交于，連接．（1）求證：FH∥；

（2）若在上存在一點(diǎn)，使得,試說明點(diǎn)是△的內(nèi)心.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）如圖，過點(diǎn)F作直徑FN，連接BN，由已知易得∠N=∠BAF=∠BFM=∠FAC=∠CBF，就可得BC∥FH；

（2）如圖，連接BD，由BF=DF，可得∠DBF=∠BDF，又因為∠DBF=∠DBC+∠CBF，∠BDF=∠BAF+∠ABD，而∠BAF=∠CAF=∠CBF，所以可得∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC，又AF平分∠BAC，由此可得點(diǎn)D是△ABC角平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心.

試題解析：

（1）如圖，過點(diǎn)作直徑，連接.

∴，

∴∠N+∠NFB=900,

∵是⊙O的切線，

∴，

∴,

∴,

∵平分∠，

∴,

又∵,

∴,

∴∥

（2）連接.

∵,

∴,

又∵，

∴，

∴平分，

又∵平分∠，

∴點(diǎn)是△角平分線的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心.