Question

27、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形（任選兩個(gè)均可）；
（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；
（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB=30度．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析：（1）只要四邊形中有一個(gè)角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，由此可知，正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形都是勾股四邊形．
（2）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)：M（3，4）或M（4，3）．
（3）欲證明DC²+BC²=AC²，只需證明∠DCE=90度．

解答：解：（1）正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形．（任選兩個(gè)均可）（2分）（填正確一個(gè)得1分）

（2）答案如圖所示．M（3，4）或M（4，3）．（沒有寫出不扣分）

（2分）（根據(jù)圖形給分，一個(gè)圖形正確得1分）

（3）證明：連接EC，
∵△ABC≌△DBE，（5分）
∴AC=DE，BC=BE，（6分）
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC，∠BCE=60°，（7分）
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，（8分）
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．