Question

如圖所示，△ABC中，∠A=30°，AB=4，AC=6，P為AC上任一點（點P與點A，C都不重合），過點P作PD∥AB，交BC于D，設AP=x．
（1）求△BPD的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）點P在AC上什么位置時，△BPD的面積最大，此時線段PD長度是多少？

Answer 1

解：（1）過P作PE⊥AB于E．
∵PD∥AB
∴△CPD∽△CAB
∴，
即，PD=（6-x），
在Rt△APE中，∠A=30°，AP=x，
∴PE=x
S_△BPD=•PD•PE
=×（6-x）×x
=-x²+x（0＜x＜6）；

（2）∵-＜0，
∴函數(shù)有最大值．
當x=-=3，即P為AC中點時，△BPD面積最大，此時PD的長為2．
分析：（1）S_△BPD=•PD•PE．分別用含x的式子表示PD、PE．在△APE中易表示PE；利用△CPD∽△CAB表示PD．
（2）運用函數(shù)性質求解．
點評：此題的關鍵是借助相似性表示PD與自變量x的關系，從而表達面積，得出函數(shù)關系式，然后運用函數(shù)性質求解．運用二次函數(shù)性質求最值常用公式法或配方法．