【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上,延長BC到點(diǎn)D,使得CD=BC,過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)G為DF的中點(diǎn),連接CG、OF、FB.

(1)求證:CG是O的切線;

(2)若AFB的面積是DCG的面積的2倍,求證:OFBC

【答案】見解析

【解析】

試題分析:(1)連接OC.欲證CG是O的切線,只需證明CGO=90°,即CGOC;

(2)根據(jù)直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式,以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF;然后根據(jù)三角形中位線的判定與定理證得該結(jié)論.

證明:(1)如圖,連接OC.

ABC中,ABO的直徑,

∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角是直角);

OA=OC,

∴∠A=ACO(等邊對等角);

在RtDCF中,點(diǎn)G為DF的中點(diǎn),CG=GF(直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半),

∴∠GCF=CFG(等邊對等角);

DEAB(已知),CFG=AFE(對頂角相等);

在RtAEF中,A+AFE=90°;

∴∠ACO+GCF=90°,即GCO=90°,

CGOC

CGO的切線;

(2)ABO的直徑,

∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角是直角),即ACBD;

CD=BC,點(diǎn)G為DF的中點(diǎn),

SAFB=SABC﹣SBCF=(ACBC﹣CFBC),SDCG=SFCD=×DCCF=BCCF;

∵△AFB的面積是DCG的面積的2倍,

(ACBC﹣CFBC)=2×BCCF,

AC=2CF,即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn);

O點(diǎn)是AB的中點(diǎn),

OFABC的中位線,

OFBC

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