Question

已知Rt△ABC的斜邊AB=10cm，AC=6cm．
（1）以點(diǎn)C為圓心，當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí)，AB與⊙C相切；
（2）以點(diǎn)C為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑作⊙C，若⊙C以2厘米/秒的速度沿CB由C向B移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間⊙C與AB相切？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD垂直于AB，根據(jù)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出圓C與AB相切時(shí)，CD為此時(shí)圓C的半徑，在直角三角形ABC中，由AB及AC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，由直角三角形的面積可以由斜邊AB與高CD乘積的一半來，也可以由兩直角邊乘積的一半來求，可得出CD的長(zhǎng)，即為AB與圓C相切時(shí)的半徑；
（2）如圖所示，當(dāng)圓心C與點(diǎn)E重合時(shí)，圓C與AB相切，切點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF，由切線的性質(zhì)得到EF垂直于AB，且EF等于圓C的半徑，由一對(duì)直角相等，且一對(duì)公共角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形BEF與三角形ABC相似，由相似得比例，將AC，AB，EF的長(zhǎng)代入求出EB的長(zhǎng)，再由CB-EB求出CE的長(zhǎng)，即為圓心C運(yùn)動(dòng)的路程，用路程除以速度，即可求出圓C與AB相切時(shí)所用的時(shí)間．

解答：解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，如圖所示：

Rt△ABC的斜邊AB=10cm，AC=6cm，
根據(jù)勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=8cm，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=4.8cm，
則以點(diǎn)C為圓心，當(dāng)半徑為4.8cm時(shí)，AB與⊙C相切；

（2）當(dāng)點(diǎn)C與E重合時(shí)，⊙C與AB相切，如圖所示：

連接EF，則EF⊥AB且EF=2cm，又AC⊥CB，
∴∠EFB=∠ACB=90°，又∠EBF=∠ABC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

EB

AB

，又EF=2cm，AC=6cm，AB=10cm，
∴EB=

EF•AB

AC

=

10

3

（cm），
∴CE=CB-EB=8-

10

3

=

14

3

（cm），又點(diǎn)C的速度為2厘米/秒，
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

14

3

÷2=

7

3

（秒），
則經(jīng)過

7

3

秒⊙C與AB相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積求法，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．