小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng),提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問(wèn)題,請(qǐng)你幫助解決:
(1)如圖1,正方形ABCD中,作AE交BC于E,DF⊥AE交AB于F,求證:AE=DF;
(2)如圖2,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,點(diǎn)G,H分別在AB,CD上,且EF⊥GH,求的值;
(3)如圖3,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,且EF⊥GH,求的值.

【答案】分析:(1)證明AE=DF,只要證明三角形ABE和DAF全等即可.它們同有一個(gè)直角,且AB=AD,又因?yàn)椤螦EB=90°-∠BAE=∠AFD,這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的AAS,兩三角形就全等了;
(2)可通過(guò)構(gòu)建與已知條件相關(guān)的三角形來(lái)求解.作AM∥EF交BC于M,作DN∥GH交AB于N,那么AM=EF,DN=GH,(1)中我們已證得△ABM、△DAN全等,那么AM=DN,即EF=GH,它們的比例也就求出來(lái)了;
(3)做法同(2)也是通過(guò)構(gòu)建三角形來(lái)求解.作AM∥EF交BC于M,作DN∥GH交AB于N,只不過(guò)證明三角形全等改為了證明其相似.解題思路和步驟是一樣的.
解答:(1)證明:∵DF⊥AE
∴∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD
又∵AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°
∴△ABE≌△DAF,∴AE=DF;

(2)解:作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
則AM=EF,DN=GH
由(1)知,AM=DN
∴EF=GH,即

(3)解:作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
則AM=EF,DN=GH
∵EF⊥GH
∴AM⊥DN
∴∠AMB=90°-∠BAM=∠AND
又∵∠ABM=∠DAN=90°
∴△ABM∽△DAN


點(diǎn)評(píng):本題中(1)(2)和(3)雖然所求不一樣,但是解題思路和步驟是一樣的,都是通過(guò)構(gòu)建與已知和所求的條件相關(guān)的三角形,然后證明其全等或相似來(lái)得出線段間的相等或比例關(guān)系.
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(2)如圖2,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,點(diǎn)G,H分別在AB,CD上,且EF⊥GH,求
EF
GH
的值;
(3)如圖3,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,且EF⊥GH,求
EF
GH
的值.
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EFGH
的值.
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(3)如圖3,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,且EF⊥GH,求的值。

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