Question

【題目】已知關(guān)于x的方程

（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；

（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2，且拋物線的開口向上時(shí)，求此拋物線的解析式；

（3）在坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)圖象，分析當(dāng)直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）所求拋物線的解析式為：y1=x2－2x；（3）b>－.

【解析】試題分析：（1）本題中，二次項(xiàng)系數(shù)m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實(shí)數(shù)根．

（2）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，c=0，列出方程即可解決．

（3）列出方程組，有兩個(gè)交點(diǎn)，△＞0，即可求出b的取值范圍．

試題解析：：（1）分兩種情況討論．

①當(dāng)m=0時(shí)，方程為x-2=0，x=2．

∴m=0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．

②當(dāng)m≠0時(shí)，則一元二次方程的根的判別式

△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）

=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，

∴m≠0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．

故無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根．

綜合①②可知，m取任何實(shí)數(shù)，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根；

（2）∵拋物線y=mx2-（3m-1）x+2m-2經(jīng)過原點(diǎn)，

∴2m-2=0，

∴m=1，

∴拋物線解析式為y=x2-2x．

（3）函數(shù)圖象如圖所示，由消去y得到x2-3x-b=0，

∵兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△＞O，

∴9+4b＞0，

∴b＞-時(shí)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)．