Question

已知拋物線y=ax²+（

4

3

+3a）x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：可根據(jù)拋物線的解析式表示出A、B、C的坐標(biāo)，然后分別表示出AB、AC、BC的長(zhǎng)，可根據(jù)∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三種不同情況用勾股定理求出a的值．

解答：解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（

4

3

+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-

4

3a

，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（-

4

3a

，0），
∴AB=|-

4

3a

+3|，AC=

AO2+OC2

=5，BC=

CB2+OC2

=

|- 4 3a |2+42

，
∴AB²=|-

4

3a

+3|²=

16

9a2

-

8

a

+9，
AC²=25，BC²=

16

9a2

+16．
（ⅰ）當(dāng)AB²=AC²+BC²時(shí)，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得

16

9a2

-

8

a

+9=25+

16

9a2

+16，
解得a=-

1

4

，
∴當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

16

3

，0），
AB²=

625

9

，AC²=25，BC²=

400

9

，
于是AB²=AC²+BC²，
∴當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，△ABC為直角三角形．
（ⅱ）當(dāng)AC²=AB²+BC²時(shí)，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=

16

9a2

-

8

a

+9+

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

．
當(dāng)a=

4

9

時(shí)，-

4

3a

=-

4

3× 4 9

=-3，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意．
＜ⅲ＞當(dāng)BC²=AC²+AB²時(shí)，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+

16

9a2

-

8

a

+9=

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

，
不合題意．
綜合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的判定和勾股定理等知識(shí)．