Question

【題目】(2016廣西省賀州市第25題)如圖，在△ABC中，E是AC邊上的一點，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BE于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若AB=8，BC=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、1.6

【解析】

試題分析：(1)、由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，繼而證得結(jié)論；(2)、首先連接BD，易證得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

試題解析：(1)、∵AE=AB， ∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC， ∵∠BAC=2∠CBE， ∴∠CBE=∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°， 即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切線；

(2)、連接BD，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADB=∠ABC，

∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6， ∴AC==10，

∴， 解得：AD=6.4， ∵AE=AB=8， ∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．