Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，OA＝OB，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，AB＝，線段OB上的動點(diǎn)(點(diǎn)C不與O、B重合)，連接AC,作AC⊥CD,作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E.

(1)求證:△ACO≌△CDE;

(2)猜想△BDE的形狀，并證明結(jié)論:

(3)如圖2,當(dāng)△BCD為等腰三角形時，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）等腰直角三角形；（3）（，-1）

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ACD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACO=∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=CE，CO=DE，求得OB=CE，得到OC+CB=BE+CB，由等腰直角三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)△BCD為等腰三角形時，①BC=BD，②CD=BD=m，③當(dāng)CD=BC＞CE根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．

解：（1）∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∵作DE⊥x軸，AO⊥OB，
∴∠DEC=∠COA=90°，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ACO=∠CDE，
在△ACO與△CDE中

∴△ACO≌△CDE（AAS）；
（2）△BDE為等腰直角三角形，
理由：∵△ACO≌△CDE，
∴AO=CE，CO=DE，
∵OA=CE，CO=DE，
∵OA=OB，
∴OB=CE，
∴OC+CB=BE+CB，
即OC=BE=DE，
∵∠DEB=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
（3）解：設(shè)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，
當(dāng)△BCD為等腰三角形時，
①BC=BD，∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=m，

∴BD=BC=m，
∵CE=AO=1，
∴m+m=1，
∴m=-1，
∴D（，-1）；
②CD=BD=m，
∵OC=DE=m，
∴AC=CD=m，
解得：m=±1（舍去），
③當(dāng)CD=BC＞CE（這種情況不存在0，
綜上所述，當(dāng)△BCD為等腰三角形時，點(diǎn)D的坐標(biāo)（，-1）．