Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI交⊙O于D點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接BD、BI；
（1）求證：DB=DI；
（2）連接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明ID=BD，利用內(nèi)心的定義可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所對(duì)的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)外角的和，即可證得∠BID=∠IBD，利用等邊對(duì)等角即可證得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而B(niǎo)D=AI，證得：Rt△BDE≌Rt△AIG，則AG=BE=BC，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得：AG=（AB+AC-BC），再根據(jù)AB+AC=10即可求解．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）證明：延長(zhǎng)AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內(nèi)心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
 =，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而B(niǎo)D=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴BC=5．
點(diǎn)評(píng)：考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，正確證明Rt△BDE≌Rt△AIG是關(guān)鍵．