Question

如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，對角線AC，BD交于點S，且DS=2SB，P為AC的中點．
求證：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

Answer 1

證明：（1）由已知得∠ADC=90°，
從而A，B，C，D四點共圓，AC為直徑，P為該圓的圓心，
作PM⊥BD于點M，知M為BD的中點，
所以∠BPM==∠BAD=60°，
從而∠PBM=30°；

（2）作SN⊥BP于點N，則．
又，
∴，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．
分析：（1）連接PD，四邊形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，根據(jù)內(nèi)角和定理可求∠ADC=90°，則A、B、C、D四點共圓，對角線AC為直徑，P點為圓心，△PBD為等腰三角形，根據(jù)圓周角定理∠BPD=2∠BAD，可證∠PBD=30°；
（2）作SN⊥BP于點N，由（1）的結(jié)論可知SN=SB，利用線段之間個關系證明MS=SB=SN，從而判斷Rt△PMS≌Rt△PNS，得出∠MPS=∠NPS=30°，由圓周角定理得∠PAB=∠NPS，則∠DAC=∠BAD-∠PAB=45°，又AC為直徑，故AD=DC．
點評：本題考查了四點共圓，三角形全等的判定與性質(zhì)．關鍵是判斷△ABC，△ADC，公共斜邊AC，利用圓周角定理求相關的角．