Question

問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，可知：∠BAD=∠C（不需要證明）；
特例探究：如圖2，∠MAN=90°，射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點(diǎn)F，BD⊥AE于點(diǎn)D．證明：△ABD≌△CAF；
歸納證明：如圖3，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；
拓展應(yīng)用：如圖4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，則△ACF與△BDE的面積之和為

5

．

Answer 1

分析：圖2，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據(jù)AAS證兩三角形全等即可；圖③根據(jù)已知和三角形外角性質(zhì)求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據(jù)ASA證兩三角形全等即可；圖④求出△ABD的面積，根據(jù)△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，即可得出答案．

解答：證明：圖②，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∵

∠ADB=∠CFA ∠ABD=∠CAF AB=AC

，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
圖③，
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵

∠ABE=∠CAF AB=AC ∠BAE=∠ACF

，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
圖④，
解：∵△ABC的面積為15，CD=2BD，
∴△ABD的面積是：

1

3

×15=5，
由圖3中證出△ABE≌△CAF，
∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即等于△ABD的面積，是5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，證明過程有類似之處．