Question

如圖，△ABC是等邊三角形，AB=AC=BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)之后另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)解答下面的問題：
（1）用含t的代數(shù)式表示：BP=

3tcm

，BQ=

（12-2t）cm

；
（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求BQ，BP的長；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ是等邊三角形？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知速度求出即可．
（2）把t=2代入BP=3tcm和BQ=（12-2t）cm求出即可．
（3）根據(jù)等邊三角形的判定得出BP=BQ時(shí)，△BPQ是等邊三角形，代入求出即可．
（4）分為兩種情況：①∠BPQ=90°，②∠BQP=90°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）BP=3tcm，BQ=（12-2t）cm，
故答案為：3tcm，（12-2t）cm．

（2）把t=2s代入得：BP=3×2=6（cm），BQ=12-2×2=8（cm）．

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴要使△BPQ是等邊三角形，只要BP=BQ就行，
即3t=12-2t，
解得：t=2.4，
當(dāng)t為2.4s時(shí)，△BPQ是等邊三角形．

（4）分為兩種情況：①∠BPQ=90°，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2BP，
即12-2t=2×3t，
t=1.5（s）；
②∠BQP=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
∴2（12-2t）=3t
t=

24

7

（s）；
∴當(dāng)t為1.5s或

24

7

s時(shí)，△BPQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．