Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與y軸的交點為C（0，2），與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點B（2，n），連接BO，若S_△AOB=4．
（1）求直線AB的解析式和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)已知條件知OC=2．而點B（2，n）在第一象限內(nèi)，S_△AOB=4，由此得到

1

2

OC•OA+

1

2

OC×2=4，利用這個等式可以求出OA=2，也就求出點A的坐標，然后設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用點A，C的坐標根據(jù)待定系數(shù)法即可確定直線AB的解析式，而點B（2，n）在直線AB上，由此可以得到n=4，再利用待定系數(shù)法就可以確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點O作OD⊥AB于D，BE⊥y軸于E，根據(jù)已知條件和勾股定理可以分別得到OD=CD=

2

，BC=2

2

，BD=3

2

，最后利用三角函數(shù)的定義即可求出tan∠ABO的值．

解答：解：（1）由C（0，2），得OC=2．
∵點B（2，n）在第一象限內(nèi)，S_△AOB=4．
∴

1

2

OC•OA+

1

2

OC×2=4．
∴OA=2．
∴點A的坐標是（-2，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
將點A，C的坐標分別代入，得

-2k+b=0 b=2.

，
解得

k=1 b=2.

∴直線AB的解析式為y=x+2．（2分）
∵點B（2，n）在直線AB上，
∴n=4
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

(a≠0)．
將點B的坐標代入，得4=

k

2

，
∴k=8．
故反比例函數(shù)的解析式為：y=

8

x

；

（2）過點O作OD⊥AB于D．
∵直線AB的解析式為y=x+2，
∴A（-2，0），
∴OA=OC=2，∠OCA=45°，
∴OD=CD=

2

，
∵B（2，4），C（0，2），
∴BC=2

2

，
∴BD=BC+CD=2

2

+

2

=3

2

，
∴tan∠ABO=

OD

BD

=

1

3

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，然后利用三角函數(shù)的定義和勾股定理即可解決問題．