Question

如圖,⊙O經(jīng)過(guò)菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、C、D,且與AB相切于點(diǎn)A.

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）求∠B的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）∠ABC =60°．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OA、OB、OC、BD,根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC,然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABO≌△CBO,則∠BCO=∠BAO=90°,于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,則∠AOB=∠COB,由于菱形的對(duì)角線平分對(duì)角,所以點(diǎn)O在BD上,利用三角形外角性質(zhì)有∠BOC=∠ODC+∠OCD,則∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根據(jù)∠BOC+∠OBC=90°可計(jì)算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC計(jì)算．

試題解析：（1）連結(jié)OA、OB、OC、BD,如圖,

∵AB與⊙O切于A點(diǎn),

∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,

∵四邊形ABCD為菱形,

∴BA=BC,

在△ABO和△CBO中

,

∴△ABO≌△CBO（SSS）,

∴∠BCO=∠BAO=90°,

∴OC⊥BC,

∴BC為⊙O的切線；

（2）∵△ABO≌△CBO,

∴∠AOB=∠COB,

∵四邊形ABCD為菱形,

∴BD平分∠ABC,DA=DC,

∴點(diǎn)O在BD上,

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,

∴∠ODC=∠OCD,

∴∠BOC=2∠ODC,

同理：∠BOC=2∠OBC,

∵∠BOC+∠OBC=90°,

∴∠OBC=30°,

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì),2.菱形的性質(zhì)．