Question

已知：如圖，BD是⊙O的直徑，過圓上一點A作⊙O的切線交DB的延長線于P，過B點作BC∥PA交⊙O于C，連接AB、AC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半徑和AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弦切角定理得到∠1=∠C和平行線的性質(zhì)定理得到∠1=∠2，則∠2=∠C，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)切割線定理即可求得圓的半徑，要求AC的長，只需求得AB的長．根據(jù)直角三角形的勾股定理和AB：AD的值聯(lián)立求解．

解答：（1）證明：∵BC∥AP
∴∠1=∠2
∵PA切圓于點A
∴∠1=∠C
∴∠2=∠C
∴AB=AC

（2）解：∵PA²=PB•PD
即10²=5×（5+2×OB）
∴OB=

15

2

，∴⊙O的半徑為7.5
∵PDA∽△PAB
∴

AD

AB

=

PA

PB

=

10

5

=2
∵BD²=AB²+AD²，即15²=AB²+（2AB）²
∴AB=3

5

，即AC=3

5

．

點評：此題綜合運用了弦切角定理、切割線定理、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理．