Question

如圖，直線l₁：y=-x+3與直線l2：y=

1

2

x-3的圖象交于A點(diǎn)，l₁與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點(diǎn)，l₂與坐標(biāo)軸分別交于D，E兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的拋物線函數(shù)解析式；
（2）題（1）拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不動(dòng)，縱坐標(biāo)擴(kuò)大一倍后，得到新的拋物線，請(qǐng)寫出這個(gè)新的拋物線的函數(shù)解析式，判斷這個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)平移，軸對(duì)稱這兩種變換后能否經(jīng)過(guò)A，B，E三點(diǎn)；如果可以，說(shuō)出變換的過(guò)程；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在題（1）中的拋物線頂點(diǎn)上方的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，問(wèn)是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)P，Q，使△APQ與△ABD相似？如存在請(qǐng)求出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并直接寫出AP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）解直線I₁和直線I₂組成的方程組，即可求出A的坐標(biāo)，把y=o，x=0，分別代入直線1₁和直線I₂即可求出D、C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的拋物線函數(shù)解析式是y=ax²+bx+c，代入坐標(biāo)即可求出解析式；
（2）根據(jù)坐標(biāo)設(shè)出解析式就能寫出解析式，先以x軸為對(duì)稱軸做軸對(duì)稱變換，然后向左平移，最后向下平移即可；
（3）①當(dāng)∠PAQ=∠ABD時(shí)，△AMN≌△ABM，求出Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出AP的長(zhǎng)，②當(dāng)∠PAQ=∠ADB時(shí)，△AMN∽△AND，求出Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出AP的長(zhǎng)．

解答：（1）解：

y=-x+3 y= 1 2 x-3

，
解得：

x=4 y=-1

，
即：A（4，-1），
當(dāng)y=0時(shí)，y=

1

2

x-3=0，
x=6，
∴D（6，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+3=3，
∴C（0，3），
設(shè)經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的拋物線函數(shù)解析式是y=ax²+bx+c，
把A（4，-1）C（0，3），D（6，0）代入并解得：a=

1

4

，b=-2，c=3，
∴拋物線的解析式是y=

1

4

x2-2x+3，
答：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，-1），經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的拋物線函數(shù)解析式是y=

1

4

x²-2x+3．

（2）新的拋物線y=

1

2

x2-4x+6，
可以，因?yàn)檫^(guò)A，B，E的拋物線解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-3=-

1

2

（x-

5

2

）²+

1

8

，
頂點(diǎn)為(

5

2

，

1

8

)，可以把拋物線y=

1

2

x2-4x+6
先以x軸為對(duì)稱軸做軸對(duì)稱變換，則解析式為y=-

1

2

x2+4x-6=-

1

2

（x-4）²+2，
然后向左平移

3

2

個(gè)單位，最后向下平移

15

8

個(gè)單位．
答：新的拋物線的解析式是：y=

1

2

x2-4x+6，可以，變換的過(guò)程是先以x軸為對(duì)稱軸做軸對(duì)稱變換，
然后向左平移

3

2

個(gè)單位，最后向下平移

15

8

個(gè)單位．

（3）存在，因?yàn)锳點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
所以∠PAQ小于90度，必不可能等于∠BAD（這個(gè)角是鈍角）
所以要使△APQ與△ABD相似，只要使∠PAQ等于∠ABD或者∠ADB，
就可以存在，
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M，直線AQ與x軸交點(diǎn)為N，
則當(dāng)∠PAQ=∠ABD時(shí)，△AMN≌△ABM，
所以N坐標(biāo)為（5，0），
直線AQ解析式為y=x-5，
與拋物線的交點(diǎn)Q為（8，3），
此時(shí)AP=12或

8

3

，
當(dāng)∠PAQ=∠ADB時(shí)，△AMN∽△AND，
所以N坐標(biāo)為（

9

2

，0），
直線AQ解析式為y=2x-9，
與拋物線的交點(diǎn)Q為（12，15），
此時(shí)AP=24或

40

3

．
答：動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（8，3）或（12，15），AP的長(zhǎng)度是12或

8

3

或24或

40

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，相似三角形的旋轉(zhuǎn)和判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．